本篇目录：
- 1、近世代数理论基础13:循环群
- 2、“除平凡子群外无其他子群的群是素数阶循环群”怎样证明?
- 3、任何域的有限乘法子群都是循环群,这个命题怎么证明?
- 4、n阶循环群的自同构群同构于U(n)怎么证明?
- 5、证明:循环群的同态像必定是循环群.
- 6、如何证明群G是一个交换群?
近世代数理论基础13:循环群
在近世代数里面，群是一个抽象代数结构，它满足一定的代数性质。其中，循环群是一种特殊的群，它的生成元素可以通过重复操作生成群的所有元素。
循环群与高等代数的关系：近世代数是高等代数的后续课程，近世代数中的很多一般理论都建立在高等代数的一些具体的群、环上，并且这些结构还可以验证近世代数中的一-些结论。
循环群就两类，一类与（Z，+）同构，一类与（Zm，+）同构。这个性质一般书上都有介绍吧，用反证法很容易导出矛盾的。这个性质成立的情况下，lz的命题自然成立了。
“除平凡子群外无其他子群的群是素数阶循环群”怎样证明?
模n的剩余类加群，本质上就是循环群（一般我们在同构意义下看有限循环群，就是Zn)，既然是循环群，那么他的所有子群都可以由该群中某个元素生成。2个元素生成的群也可以由一个生成。
解：交换的单群的所有子群都正规，所以它必须没有非平凡子群。直接用Abel的直和分解，如果它有不止一个因子的话，头一个因子所对应的就是一个非平凡子群。
证明：设G是一个群，|G|为素数p。首先，因为p是素数，所以p大于1（1不是素数），即G不是只由单位元构成的1阶群，G中存在异于单位元e的元素。设a∈G，a≠e，则o(a)≠1。
子群的阶一定整阶群的阶。任取一个异于幺元的元素，它生成的循环子群只能是整个阶本身。
群的阶能被子群的阶整除，所以，考虑任何元素生成的循环群，个数要么是1，要么等于该素数，所以。。
剩余类加群z6的子群有4个。由于循环群的子群是循环群，并且群的阶的每一个正因子存在唯一的子群，6的正因子只有1，2，3，6，因此Z6共有4个子群，它们分别是一阶子群，2阶子群，3阶子群，6阶子群=Z6（本身）。
任何域的有限乘法子群都是循环群,这个命题怎么证明?
1、这道题目就是要证明有限域Fp的乘群是循环群。首先有限域Fp的乘群是有限交换群，有限交换群有一个性质，设群的元素的阶最大值为k，那么群的每个元素的阶都是k的因子。
2、模n的剩余类加群，本质上就是循环群（一般我们在同构意义下看有限循环群，就是Zn)，既然是循环群，那么他的所有子群都可以由该群中某个元素生成。2个元素生成的群也可以由一个生成。
3、设n阶循环乘群G的生成元为a，则a^n=1。G1是G的子群。
4、对於每个质数，群Zp×为具有-1个元素的循环群。更一般性地，任一域中的乘法群之有子群都是循环的。例子 在二维和三维空间里，折旋转对称的对称群为，属Zn抽象群类型。
5、n为某一正整数。元素个数相同的有限域是同构的。因此，通常用GF(p_)表示p_元的有限域。GF(p_)的乘法群是(p_-1)阶的循环群。有限域在近代编码、计算机理论、组合数学等各方面有着广泛的应用。
n阶循环群的自同构群同构于U(n)怎么证明?
1、a^(p-1)∈G，又因为|G|=p，故G={1，a，a^2…a^(p-1)}，这就证明了G是循环群。
2、因此，这个商群同构于A_8。另一方面，这个商群是16阶Abel群的自同构群的子群。注意到我们这里的Abel群的自同构群是\mathrm{PSL}_4(\mathbb{F}_2)，阶也是20160，例外同构就证明完毕了。
3、模n的剩余类加群，本质上就是循环群（一般我们在同构意义下看有限循环群，就是Zn)，既然是循环群，那么他的所有子群都可以由该群中某个元素生成。2个元素生成的群也可以由一个生成。
4、Abel群，结构也足够简单，其上的自同构群是我们已知的 有限循环群 由于 总是一个生成元，我们讨论 的像是哪些生成元就可以了。
5、我们考虑群的所有 自同构变换 组成的集合，很容易证明它们组成群，称为 自同构群(automorphism)，并记作为 。容易证明无限循环群的自同构群是 2 阶循环群，而 n 阶循环群的自同构群是 阶群。
证明:循环群的同态像必定是循环群.
定理3 设G和G是两个群且G~G。若G是循环群，则G也是循环群。即循环群的同态像也是循环群。
循环群只与循环群同态对。根据查询相关资料信息显示，在同构意义下，循环群只有两类，是整数加群和模的剩余类加群，利用同态像的性质可证明循环群只与循环群同态。
设G为循环群，那么G有生成元x，使得任何非单位元g属于G，均存在最小的正整数n，满足g=x^n。因此若H是G的子群，其任何元素非单位元h，均有h=x^n的形式。不妨设d0是满足x^d属于H的最小整数。
模n的剩余类加群，本质上就是循环群（一般我们在同构意义下看有限循环群，就是Zn)，既然是循环群，那么他的所有子群都可以由该群中某个元素生成。2个元素生成的群也可以由一个生成。
如何证明群G是一个交换群?
1、设a，b是G中任意2个元，则a^2b^2=(ab)^2=e 即aabb=abab 由消去律ab=ba G是交换群。证毕。
2、例118 群Z，+，R，+，Q，+，C，+都是交换群。
3、证明：G/Z(G)为循环群=G\Z(G)=aZ(G)={a^i*H|i∈z}={H*a^i|i∈z}，a∈G，显然群G可交换，故G是交换群。
4、ab=σ(a^(-1))σ(b^(-1))=σ(a^(-1)b^(-1))=σ((ba)^(-1))=ba。因此G为交换群。若同态映射 f 是一个双射，则称 f 为 G 到 G’ 的同构映射，这时称群 G 和 G’ 同构。
到此，以上就是小编对于证明一个群是循环群的问题就介绍到这了，希望介绍的几点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。
微信扫一扫打赏
